Introduction à l'algèbre linéaire : Définition des transformations linéaires

La linéarité est la structure squelettique des espaces vectoriels. Une transformation linéaire n'est pas seulement une fonction ; c'est une application $T$ entre des espaces vectoriels qui respecte les opérations fondamentales d'addition vectorielle et de multiplication scalaire. Pensez-y comme un « plan structurel » : si vous savez comment la transformation agit sur un ensemble de vecteurs de base, vous savez comment elle agit sur tout l'univers de ces vecteurs.

Les deux piliers de la linéarité

Pour qu'une transformation $T$ soit considérée comme linéaire, elle doit satisfaire deux conditions algébriques rigoureuses pour tous les vecteurs $v, w$ et tous les scalaires $c$ :

Additivité : $T(v + w) = T(v) + T(w)$. La transformation d'une somme est la somme des transformations.
Homogénéité : $T(cv) = cT(v)$. Échelonner l'entrée échelonne la sortie par le même facteur exact.

Le principe de superposition

En combinant ces règles, nous obtenons l'identité la plus puissante de l'algèbre linéaire :

$$T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)$$

Cela signifie qu'une transformation linéaire $T$ agit sur une combinaison linéaire de vecteurs en distribuant sur la somme et en extrayant les scalaires.

Contrainte du vecteur nul

Un test critique de la linéarité est le Test de l'origine. Si une transformation est linéaire, elle doit mapper le vecteur nul vers le vecteur nul :

$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

Si une application déplace l'origine (par exemple, $T(v) = v + b$), il s'agit d'une affine transformation, et non une transformation linéaire. Dans la géométrie du plan, les transformations linéaires maintiennent le centre fixe ; elles ne déplacent jamais l'espace.

Reconnaître la non-linéarité

La linéarité est extrêmement fragile. Si la règle gouvernant $T$ implique l'une des situations suivantes, elle est non linéaire :

Carrés ou puissances supérieures (par exemple, $v_1^2$)
Produits de composantes (par exemple, $v_1 v_2$)
Valeurs absolues ou normes (par exemple, $||v||$)
Décalages constants (par exemple, $v_1 + 1$)

🎯 Principe fondamental : Contraste d'exemple

Considérez un vecteur fixe $a = (1, 3, 4)$. Le produit scalaire $T(v) = a \cdot v$ est linéaire car il se distribue sur l'addition. Cependant, le module $T(v) = ||v||$ n'est pas linéaire ; il échoue à l'inégalité triangulaire ($||v+w|| \leq ||v||+||w||$ n'est pas une égalité) et échoue pour les scalaires négatifs ($||-v|| = ||v|| \neq -||v||$).

QUESTION 1

Laquelle de ces transformations de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}$ n'est PAS linéaire ?

$T(v) = (v_2, v_1)$

$T(v) = v_1 v_2$

$T(v) = v_1 - v_2$

$T(v) = (0, v_1)$

QUESTION 2

Supposons que $T$ soit la réflexion par rapport à l'axe des $x$ et que $S$ soit la réflexion par rapport à l'axe des $y$ dans le plan $xy$. Si $v = (x, y)$, quel est le résultat de la transformation produit $S(T(v))$ ?

$(x, y)$ (L'identité)

$(-x, y)$ (Réflexion sur l'axe des $y$)

$(-x, -y)$ (Réflexion par rapport à l'origine)

$(y, x)$ (Réflexion par rapport à $y=x$)

QUESTION 3

Si $u = [1, 0]^T$ et $v = [0, 1]^T$, et que nous savons que $Au$ et $Av$ sont les colonnes de la matrice $A$. Pour $w = [5, 7]^T$, comment $Aw$ est-il lié aux colonnes de $A$ ?

$Aw = 5Au + 7Av$

$Aw = Au + Av$

$Aw = 7Au + 5Av$

$Aw = [5, 7]^T$

QUESTION 4

La transformation $T(M) = AM$ où $A$ est une matrice $2 \times 2$ fixe et $M$ est n'importe quelle matrice $2 \times 2$ est linéaire. Quelles propriétés matricielles prouvent cela ?

Règles du déterminant $|AM| = |A||M|$

Propriété distributive $A(B+C) = AB+AC$ et associativité scalaire $A(cM) = c(AM)$

Commutativité $AM = MA$

Le fait que $A$ soit inversible

QUESTION 5

Si un espace vectoriel est constitué de polynômes de degré 3 ou moins, pourquoi la matrice $B^2$ (représentant la quatrième dérivée) est-elle égale à la matrice nulle ?

Parce que la dérivée de zéro est zéro

Parce que la quatrième dérivée de tout polynôme de degré $\leq 3$ est nulle

Parce que les vecteurs de base sont orthogonaux

Parce que $B$ est une matrice diagonale